Теорії Янга-Міллса
З точки зору алгебраїчної топології.
Електромагнетизм (Фотон)
Теорія квантової електродинаміки розвинулася в 1930—1940-х рр., де унітарна група перетворень відіграє головну роль U(1). Шредінгер показав, що група U(1) викликає фазовий зсув eiθ в електромагнітному полі, що відповідає збереженню електричного заряду, зокрема при розповсюдженні світла.
Електромагнітне поле може бути описано як вектор потенціал Aμ і тензор Fμν. Звʼязок між групою U(1) і перетвореннями Лоренца полягає в тому, що калібрувальне перетворення електромагнітного потенціалу Aμ при U(1) аналогічне перетворенню просторово-часових координат при перетвореннях Лоренца. В обох випадках ці перетворення гарантують, що основна фізика залишається незмінною.
Теорії Янг-Міллса
Калібровочна теорія поля — це тип теорії поля де Лангранжін, а значить і динамічна система загалом, є інваріантним відносно локальних трансформацій згідно певного гладкої сімʼї операторів (Груп Лі).
Теорія Янга-Міллса — це калібровочна квантова теорія поля, де головну роль відіграє спеціальна унітарна група SU(n), або більш загально, довільна компактна група Лі.
Слабка взаємодія (W і Z бозони)
Група SU(2) формалізує інваріант ізоспіна при колізіях, спричиненими сильними взаємодіями. Многовид S3 є дифеоморфізмом до групи SU(2), який показує, що SU(2) (многовид) є однозв’язним і що S3 може бути наділений структурою компактної зв’язної групи Лі.
Сильна взаємодія
Квантова хромодинаміка є неабелевою калібровочною теорією поля на локальній (калібрувальній) групі симетрії під назвою SU(3). Її топологічну структуру можна зрозуміти зауваживши, що SU(3) діє транзитивно на одиничній сфері S5 у C3≅R6. Стабілізатор довільної точки сфери ізоморфний до SU(2), яка топологічно є 3-сферою. Це показує, що SU(3) є розшаруванням над базою S5 з розшаруванням S3. Так як розшарування і бази просто-з'єднані, тоді просто-зв'язність SU(3) випливає з стандартного топологічного результату (довга точна послідовність гомотопічних груп для пучків розшарувань).